oi: 11月 2014

2014年11月20日木曜日

結婚式二次会におけるクイズ大会の設計について

結婚式の二次会におけるクイズ大会は定番である。
クイズ出題の目的としては、問題について考えさせることで、対象物の理解を深めることであろう。結婚式の二次会も例外ではなく、新郎新婦の理解を深めてもらうために、クイズ大会が催されるわけである。

そして、クイズ大会への参加度合いを高めるため、また新郎新婦から参加者への感謝の気持ちを具現化するために、多くの場合、豪華景品が用意され、クイズ正解数が最も多い個人、あるいはチームに景品は与えられる。

ただし、クイズの設問数や出題形式によっては、正解数に差がつかず、２チーム以上が同率首位となってしまう場合がある。そのような場合に備え、本稿では適切なクイズの設問数と出題形式を選択する方法を考える。

目的

同率首位チーム数の期待値("首位チーム数k×首位チーム数がkつになる確率")が小さくなるように、設問数:Nq、選択肢の数:No、チーム数(回答主体数):Nt を設計したい。
※ただし、各チームの知識は同等とし、各設問に対して正答は唯一とし、各選択肢の選ばれる確率は同様に確からしいものとする。

簡単のため以下の関数を定義する

あるチームが$n$回正答する確率
$p(n)={}_{Nq}C_n*(\frac{1}{No})^n*(1-\frac{1}{No})^{Nq-n}$
(確認) $\sum_{n=0}^{Nq}p(n)=1$

首位チーム数がkになる場合分けを正解数の観点から行う

それぞれ以下のNq(+1)通り考えられる。

Nq問正解で首位
Nq-1問正解で首位
:
1問正解で首位
(0問正解で首位 ※0問正解で首位は全員同率首位の場合のみ)

同率首位となるチーム数の期待値を考える

以下は、チーム数 Nt=8とした例を示す。

同率首位となるチーム数の期待値　＝
首位チーム数k × 首位チーム数がkになる確率の和　＝

8×(8C8*p(Nq)^8+8C8*p(Nq-1)^8+...
...+8C8*p(1)^8+8C8*p(0)^8)
+
7×(8C7*p(Nq)^7*(1-p(Nq))^1+
8C7*p(Nq-1)^7*(1-p(Nq)-p(Nq-1))^1+
...+8C7*p(1)^7*p(0)^1)
+
:
+
1×(8C1*p(Nq)^1*(1-p(Nq))^7+
8C1*p(Nq-1)^1*(1-p(Nq)-p(Nq-1))^1+
...+8C1*p(1)^1*p(0)^7)
+
0×0 ※必ず首位チームは存在

設問数:Nq、選択肢の数:No、チーム数(回答主体数):Nt を変化させ、それぞれ以上の期待値を計算することで、妥当な設問数や選択肢数が設計できる。