クイズ出題の目的としては、問題について考えさせることで、対象物の理解を深めることであろう。結婚式の二次会も例外ではなく、新郎新婦の理解を深めてもらうために、クイズ大会が催されるわけである。
そして、クイズ大会への参加度合いを高めるため、また新郎新婦から参加者への感謝の気持ちを具現化するために、多くの場合、豪華景品が用意され、クイズ正解数が最も多い個人、あるいはチームに景品は与えられる。
ただし、クイズの設問数や出題形式によっては、正解数に差がつかず、２チーム以上が同率首位となってしまう場合がある。そのような場合に備え、本稿では適切なクイズの設問数と出題形式を選択する方法を考える。
目的
同率首位チーム数の期待値("首位チーム数k×首位チーム数がkつになる確率")が小さくなるように、設問数:Nq、選択肢の数:No、チーム数(回答主体数):Nt を設計したい。※ただし、各チームの知識は同等とし、各設問に対して正答は唯一とし、各選択肢の選ばれる確率は同様に確からしいものとする。
簡単のため以下の関数を定義する
あるチームが$n$回正答する確率$p(n)={}_{Nq}C_n*(\frac{1}{No})^n*(1-\frac{1}{No})^{Nq-n}$
(確認) $\sum_{n=0}^{Nq}p(n)=1$
首位チーム数がkになる場合分けを正解数の観点から行う
Nq問 正解で首位
Nq-1問 正解で首位
:
1問 正解で首位
(0問 正解で首位 ※0問正解で首位は全員同率首位の場合のみ)
同率首位となるチーム数の期待値を考える
以下は、チーム数 Nt=8とした例を示す。同率首位となるチーム数の期待値 ＝
首位チーム数k × 首位チーム数がkになる確率 の和 ＝
8×(8C8*p(Nq)^8+8C8*p(Nq-1)^8+...
...+8C8*p(1)^8+8C8*p(0)^8)
+
7×(8C7*p(Nq)^7*(1-p(Nq))^1+
8C7*p(Nq-1)^7*(1-p(Nq)-p(Nq-1))^1+
...+8C7*p(1)^7*p(0)^1)
+
:
+
1×(8C1*p(Nq)^1*(1-p(Nq))^7+
8C1*p(Nq-1)^1*(1-p(Nq)-p(Nq-1))^1+
...+8C1*p(1)^1*p(0)^7)
+
0×0 ※必ず首位チームは存在
設問数:Nq、選択肢の数:No、チーム数(回答主体数):Nt を変化させ、それぞれ以上の期待値を計算することで、妥当な設問数や選択肢数が設計できる。
結果
以下に結果を示す。
以下のようなことがわかったので、クイズ大会を設計する際は考慮してみてはどうだろうか？
- 選択肢数は3問程度が良いことがわかった。これは正答が唯一であるため、選択肢が増えるとほとんどのチームが不正解になってしまい、横並びになることに起因する。
- 設問数は多ければ多いほうが差が出るため、時間の許す範囲、飽きない範囲、設問ネタの範囲で多い方が良い。
