標準一様分布に従う独立した２つの確率変数の大きい方の期待値の求め方(2)

標準一様分布の定義は過去のポストに記載しているので参照されたい。今回のポストでは、重積分を用いて期待値を表現することで、期待値を求める。

重積分によって導出する場合

標準一様分布に従う２つの確率変数をそれぞれ$X,Y$とする。

まず、$Y$が大きい場合を考える。求める期待値は$Y$の期待値となることから、以下で表せる。なお、0から1の間の区間１の一様分布であるため、確率密度関数は定数1をとなることに注意されたい。

外側の積分範囲は小さい方$X$のとりうる範囲を表し、内側の積分範囲はその$X$に対して、大きい$Y$をとる範囲を表している。

$$\begin{eqnarray} & &\int_0^1\int_x^1 y dydx\\ &=&\int_0^1\frac{(1-x^2)}{ 2 }dx\\ &=&\left[ \frac{3x - x^3 }{ 6 } \right]_0^1\\ &=&\frac{ 1 }{ 3 } \end{eqnarray}$$

$X$と$Y$は対称であるため、$X$が大きい場合も同様に$\frac{ 1 }{ 3 }$となる。

すなわち、求める期待値は、$\frac{ 2 }{ 3 }$である。
なお、当然、離散確率変数の極限から導出した場合と同じ値をとる。

次回は一般化して、任意の連続一様分布の場合を考える。